Teoria de Interpolacion a través de las formas de Newton-Gregory, Gauss, Hermite y Lagrange
Introducción:
La
interpolación polinómica es una técnica de interpolación de un
conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado
cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un
experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los
puntos.
Dada
una función de la cual se conocen sus valores en un número finito
de abscisas x0,x1,….,xm,
se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio
de grado menor o igual a m, cumpliendo
A
este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m
de la función
f.
La
interpolación polinómica es un problema que se presenta con
frecuencia en las ciencias experimentales y en muchas ocasiones en el
área de la ingeniería, donde se trata de construir una función
(denominada “función interpolante”) de la que se conoce una
serie de datos (denominados “datos de interpolación”). Estos
datos pueden ser fruto de las observaciones realizadas en un
determinado experimento en el que se relacionan dos o más variables
e involucran valores de una función y/o de sus derivadas.
El
objetivo será determinar una función que verifique estos datos y
que además sea fácil de construir y manipular. Por su sencillez y
operatividad los polinomios se usan frecuentemente como funciones
interpolantes.
Un
problema de interpolación en general puede enunciarse de la
siguiente forma: Dado un conjunto de datos, generalmente valores de
una función y/o sus derivadas en determinados puntos xi,
donde
i = 0, 1,…,n,
que llamaremos nodos, nuestro objetivo es construir otra función que
coincida con la función dada en los datos de interpolación.
De
esta manera podemos considerar que dados los valores de una función
desconocida correspondiente a dichos valores de x, el comportamiento
de la función seria determinar dicho comportamiento, con las
muestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio
que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi,
f(xi))
donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan
casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión.
Si
se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos
puntos que la función desconocida se puede establecer un sistema de
ecuaciones, pero este proceso es un poco engorroso; resulta
conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores de x
en forma ascendente. Además de las columnas para x
y para f(x)
se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. Cada
una de las columnas de la derecha de f(x),
gráficamente:
Un
ejemplo numérico de esta tabla de diferencias se presenta a
continuación:
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