Teoria de Interpolacion a través de las formas de Newton-Gregory, Gauss, Hermite y Lagrange

Introducción:

La interpolación polinómica es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.

Dada una función de la cual se conocen sus valores en un número finito de abscisas x₀,x₁,….,x_m, se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio de grado menor o igual a m, cumpliendo

A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f.

La interpolación polinómica es un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y en muchas ocasiones en el área de la ingeniería, donde se trata de construir una función (denominada “función interpolante”) de la que se conoce una serie de datos (denominados “datos de interpolación”). Estos datos pueden ser fruto de las observaciones realizadas en un determinado experimento en el que se relacionan dos o más variables e involucran valores de una función y/o de sus derivadas.

El objetivo será determinar una función que verifique estos datos y que además sea fácil de construir y manipular. Por su sencillez y operatividad los polinomios se usan frecuentemente como funciones interpolantes.

Un problema de interpolación en general puede enunciarse de la siguiente forma: Dado un conjunto de datos, generalmente valores de una función y/o sus derivadas en determinados puntos x_i, donde i = 0, 1,…,n, que llamaremos nodos, nuestro objetivo es construir otra función que coincida con la función dada en los datos de interpolación.

De esta manera podemos considerar que dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, el comportamiento de la función seria determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (x_i, f(x_i)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión.

Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos puntos que la función desconocida se puede establecer un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores de x en forma ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), gráficamente:

Un ejemplo numérico de esta tabla de diferencias se presenta a continuación: