Métodos de Interpolación

Según el tipo de los datos de interpolación, podemos considerar diversos tipos de interpolación, en ingeniería entre los métodos más frecuentes tenemos:

Polinomios Interpolantes de Newton-Gregory

James Gregory (November 1638 – October 1675)

Isaac Newton (December 1642 – March 1726)

Se dice que los datos estén uniformemente espaciados si x_i+1 − x_i = Δ_x es constante para      i =1, 2, 3,…, Para el caso particular de datos uniformemente espaciados, es posible encontrar una forma más sencilla del polinomio de Newton. Esta forma más sencilla se basa en diferencias que se definen de la siguiente manera:

Diferencia de orden 0: Δ₀f_i = f_i

Diferencia de orden 1: Δ₁f_i = f_i+1 − f_i

Diferencia de orden 2: Δ₂f_i = Δ(Δf_i) = Δ(f_i+1 − f_i) = Δf_i+1 − Δf_i = f_i+2 −2f_i+1 + f_i

Diferencia de orden 3: Δ₃f_i = Δ(Δ₂f_i) = Δ₂f_i+1 − Δ₂f_i = f_i+3 − 3f_i+2 + 3f_i+1− f_i

Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del polinomio interpolante de Newton– Gregory (en avance y retroceso).

Formula de Avance:

Ejemplo numérico: Usando el método de interpolación de Newton-Gregory calcular el valor de 2.4 para los siguientes valores:

Solución:

Aplicando la formula tenemos:

Formula de Retroceso:

Ejemplo numérico: Usando el método de interpolación de Newton-Gregory por retroceso calcular el valor de 4.12 para los siguientes valores:

x	0	1	2	3	4	5
f(x)	1	2	4	8	16	32

Solución:

Aplicando la formula tenemos: