Interpolación de Lagrange
Joseph
Louis Lagrange (Enero 1736 - Abril 1813) Cuyo nombre original fue
Giuseppe Luigi Lagrangia.
El
problema de la interpolación polinómica de Lagrange consiste en lo
siguiente: Conocidos los valores de una función f
en n + 1 puntos distintos xi,
i = 0, 1, · · ·, n de
un intervalo [a, b], nos planteamos obtener un polinomio Pn
de
grado no superior a n, que coincida con la función f en estos n + 1
puntos, es decir,
Pn
(xi) = f (xi),
Para
i
= 0, 1, · · ·, n.
El
polinomio Pn
buscado forma parte del conjunto de los polinomios de grado menor o
igual que n y, por tanto, Pn
(x) será
de la forma
Pn
(x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0,
Y,
para determinarla, habría que hallar los n
+ 1 coeficientes
reales a0,
a1,
· · ·, an.
En
el caso que an sea no nulo, diremos que Pn
(x) tiene
exactamente grado n.
La existencia y unicidad del polinomio de interpolación Pn
(x) se
prueba en el siguiente resultado, adamas se determina una primera
forma de construirlo.
Sean
f:
[a, b] → R y {x0, x1, · · ·, xn}, n+1
puntos distintos del intervalo [a,
b].
Entonces, existe un único polinomio Pn (x) de grado menor o igual
que n, que verifica
Pn
(xi)
= f (xi),
i = 0, 1, · · ·, n.
A
este polinomio se le denomina polinomio de interpolación de f en los
nodos {x0,x1, · · · , xn} y viene dado por
Pn
(x) =Xni=0f
(xi)
Li
(x), (1.1)
Donde,
para cada i
∈
{0, 1, · · · , n}, Li (x) =Ynj=0j=6
ix – xj xi – xj
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