Interpolación Usando Splines

Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de interpolación. Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luscan uniformes. Esto motiva el uso de los Splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con las siguientes propiedades:

1. s(x) es polinomio cúbico en.

2. existen y son continuas en.

3. s(x) interpola a la función f en los datos.

4. s(x) es continua en el intervalo.

Si escribimos, entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las condiciones 2 y 4 nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de 3 obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de libertad se fijan imponiendo condiciones de frontera adicionales en s(x). Defina como s(x) es cúbico en , entonces s"(x) es lineal.

En el subcampo matemático del análisis numérico, un Spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante Splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado.

Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los Splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.

El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas. Los Splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones. Las funciones para la interpolación por Splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones.

Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b.

Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichos puntos, pero no derivable en general.

Ejemplo: Interpolar con Splines f(x) = 1 / x, en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4

F (1) = 1

F (2) = 0.5

F (4) = 0.25

El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos de coordenadas (1,1) y (2,0.5). Surge un sistema lineal de dos ecuaciones en dos incógnitas:

(1) 1=a+b

(2) 0.5=2a+b

De (1) se obtiene:

a=1-b (3)

Reemplazando (3) en (2) se obtiene:

0.5=2(1-b)+b

Luego

b=1.5

Reemplazando el valor de (b) en (1), se obtiene:

a = - 0.5

Por lo tanto, se concluye que: P₁(x) = - 0.5x + 1.5 El segundo segmento P2(x)=ax+b deberá unir el segundo punto (2,0.5) con el tercer punto (4,0.25).

Análogamente a lo hecho para P₁(x), en el caso de P₂(x) se obtiene:

(1) 0.5 = 2a + b

(2) 0.25 = 4a + b

a = - 0.125, b = 0.75

Luego P2(x) = - 0.125x + 0.75