Teoría de Interpolación

Introducción: La interpolación polinómica es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos. Dada una función de la cual se conocen sus valores en un número finito de abscisas x 0 ,x 1 ,….,x m , se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio de grado menor o igual a m, cumpliendo A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f. La interpolación polinómica es un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y en muchas ocasiones en el área de la ingeniería, donde se trata de construir una función (denominada “función interpolante”) de la que se conoce una serie de datos (denominados “datos de interpolación”). Estos datos pueden ser fruto de las observaciones realizadas en un determinado exp

Según el tipo de los datos de interpolación, podemos considerar diversos tipos de interpolación, en ingeniería entre los métodos más frecuentes tenemos: Polinomios Interpolantes de Newton-Gregory James Gregory (November 1638 – October 1675) Isaac Newton (December 1642 – March 1726) Se dice que los datos estén uniformemente espaciados si x i +1 − x i = Δ x es constante para      i =1, 2, 3,…, Para el caso particular de datos uniformemente espaciados, es posible encontrar una forma más sencilla del polinomio de Newton. Esta forma más sencilla se basa en diferencias que se definen de la siguiente manera: Diferencia de orden 0: Δ 0 f i = f i Diferencia de orden 1: Δ 1 f i = f i +1 − f i Diferencia de orden 2: Δ 2 f i = Δ(Δf i ) = Δ(f i +1 − f i ) = Δf i +1 − Δf i = f i +2 −2f i +1 + f i Diferencia de orden 3: Δ 3 f i = Δ(Δ 2 f i ) = Δ 2 f i +1 − Δ 2 f i = f i +3 − 3f i +2 + 3f i

Carl Friedrich Gauss (Abril 1777 - Febrero de 1855) llamado “príncipe de las matemáticas”   Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida X o serán seleccionados en forma de zig-zag. En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. La fórmula de Gauss puede expresarse de la siguiente manera: Donde  

Charles Hermes (Diciembre 1822 – Enero 1901) fue un notable matemático francés del siglo XIX conocido por su trabajo sobre teoría de números, formas cuadráticas, teoría invariante, polinomios ortogonales, funciones elípticas y interpolación. La teoría de Hermes está diseñada para polinomios por pedazos H n (x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos. La función H n (x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación del método de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones. La teoría de Hermes para interpolación puede ser descrita con la siguiente expresión matemática: Una propiedad importante de la interpolación de Hermite es que si encajamos un polinomio diferente p 2,3 (x) entre x 2 y x 3 y la cual tendrá la mism

La interpolación polinomial es la base de muchos tipos de integración numérica y tiene otras aplicaciones teóricas. En la práctica a menudo tenemos una tabla de datos { (xi,yi), i = 0, 1, 2,...,n }, obtenida por muestreo o experimentación. Suponemos que los datos corresponden a los valores de una función f desconocida (a veces es conocida, pero queremos cambiarla por una función más sencilla de calcular). El “ajuste de curvas” trata el problema de construir una función que aproxime muy bien estos datos (es decir, a f). Un caso particular de ajuste de curvas es la interpolación polinomial: En este caso se construye un polinomio P(x) que pase por los puntos de la tabla. Fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, lagrange, Hermite, newton, etc, son compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías; dichas formulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.  El polinomio de int

Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de interpolación. Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luscan uniformes. Esto motiva el uso de los Splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con las siguientes propiedades: 1. s(x) es polinomio cúbico en. 2. existen y son continuas en. 3. s(x) interpola a la función f en los datos. 4. s(x) es continua en el intervalo. Si escribimos, entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las condiciones 2 y 4 nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de 3 obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de libertad se fijan imponiendo condiciones de frontera adicionales en s(x). Defina como s(x) es cúbico en , entonces s"(x) es

La diferencia dividida de Newton para la interpolación de polinomios está entre los modelos más populares y útiles. Para un polinomio de grado n se requiere de n+1 puntos. Se usan estos datos para determinar los coeficientes para las diferencias divididas. Partiendo de una tabla de diferencias divididas. Para aplicar el polinomio de interpolación por diferencias divididas por newton, no es necesario que los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los valores deban estar ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de newton está sujeto a un error.

Joseph Louis Lagrange (Enero 1736 - Abril 1813) Cuyo nombre original fue Giuseppe Luigi Lagrangia. El problema de la interpolación polinómica de Lagrange consiste en lo siguiente: Conocidos los valores de una función f en n + 1 puntos distintos x i , i = 0, 1, · · ·, n de un intervalo [a, b], nos planteamos obtener un polinomio P n de grado no superior a n, que coincida con la función f en estos n + 1 puntos, es decir, Pn (xi) = f (x i ), Para i = 0, 1, · · ·, n . El polinomio P n buscado forma parte del conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n y, por tanto, Pn (x) será de la forma Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0, Y, para determinarla, habría que hallar los n + 1 coeficientes reales a 0 , a 1 , · · ·, an . En el caso que an sea no nulo, diremos que P n (x) tiene exactamente grado n . La existencia y unicidad del polinomio de interpolación P n (x) se prueba en el siguiente resultado, adamas se determina una primera forma de constr